Bora para a edição #46 de The Weekly Math!

THE WEEKLY MATH #46

Entendendo como a Relatividade Geral (indiretamente) originou o GPS.

🛰️ Você já foi convidado para uma festa, mas não sabia onde era? Então, abriu o GPS e conseguiu ver a distância e até o tempo que percorreria até chegar?

Essa tecnologia, tão simples no nosso dia a dia, se deve quase exclusivamente da Teoria da Relatividade de Einstein - que muitas pessoas ainda acreditam que não tem nenhuma aplicação no cotidiano.

A função elementar do GPS é calcular a posição exata de um objeto na Terra usando sinais de satélites em órbita. 

O processo fundamental para isso acontecer é a trilateração. 

Cada satélite emite um sinal que viaja à velocidade da luz e o receptor GPS calcula o tempo que esse sinal demorou para chegar. 

A fórmula usada para calcular a distância entre o receptor e o satélite pode ser expressa por:

Sabendo a distância, o GPS desenha uma esfera em torno de cada satélite, com raio igual à distância calculada. A interseção dessas esferas (trilateração) é o ponto onde o receptor (recebendo as informações) está localizado. 

A equação da esfera centrada em um satélite no espaço pode ser expressa por:

Contudo, devido a relatividade especial e a relatividade geral, a medida é afetada.

Em outras palavras, quando a localização é processada pelos satélites, existem alguns quilômetros de diferença com a realidade. 

A fórmula para correção desses dados é dada por:

Com sua localização ajustada, basta descobrir o melhor caminho para chegar ao seu destino!

Para isso, são efetuados cálculos usando algoritmos matemáticos de otimização.

Para entender melhor, compreendamos a teoria dos grafos. 

As cidades, cruzamentos e destinos são representados como nós em um grafo, e as estradas entre eles são arestas com um valor associado, que pode representar distância ou tempo de viagem. 

Isso é calculado pela soma dos valores das arestas percorridas, usando a equação:

Por fim, o GPS usa transformações de coordenadas para converter entre o sistema cartesiano tridimensional e o sistema de coordenadas geográficas (latitude e longitude). 

As fórmulas usadas para essa conversão envolvem trigonometria esférica, o formato aproximado da terra:

Assim, o GPS não é apenas um localizador, mas uma tecnologia matemática extremamente avançada que passa por uma série de cálculos e correções até você descobrir onde que fica a festa do qual foi chamado - para, no final das contas, decidir que não vale a pena ir.

Apesar dessas fórmulas parecerem complicadas à primeira vista, é bem mais prático do que fazer uma viagem de dez horas com a família tendo que entender um mapa de papel, não acha?

Talvez Einstein não tenha pensado no GPS quando desenvolveu seu estudo, mas com certeza ele adoraria a praticidade!

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