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Nick Maggiulli, um cientista de dados renomado, propôs uma lei matemática curiosa: “a lei do estômago”.

De acordo com Nick, a lei é descrita da seguinte maneira:

Embora a "lei do estômago" proposta por Nick Maggiulli seja prática e intuitiva, ele não foi o pioneiro dessa ideia. O princípio em si é bem mais antigo e é conhecido no mundo acadêmico como "Lei da Utilidade Marginal". Este conceito, embora pareça complexo em sua terminologia, é simples em essência: 

"Quanto mais de um bem possuímos, menos valorizamos cada unidade adicional; e vice-versa"

Em essência, é o mesmo princípio ilustrado pela lei do estômago: quanto mais fatias de pizza comemos, menor é a satisfação proporcionada por cada fatia adicional. 

Em 1738, muito antes da popularização das pizzas, Daniel Bernoulli, um cientista suíço, já explorava conceitos econômicos avançados. Ele discutiu o valor psicológico do dinheiro em relação à sua quantidade real, um conceito que economistas modernos denominam de "utilidade". A ideia central é que a utilidade do dinheiro varia de acordo com a riqueza de uma pessoa. Por exemplo, um acréscimo de R$ 500 no salário de alguém que ganha R$ 1.500 tem um impacto psicológico muito maior do que para alguém com um salário de R$ 15.000, apesar de ser a mesma quantia em dinheiro.

Para ilustrar essa relação entre a utilidade percebida e a riqueza real, a tabela a seguir, retirada do livro "Rápido Devagar", apresenta como o valor psicológico (utilidade) varia com diferentes níveis de riqueza, de 1 milhão a 10 milhões de reais:

De acordo com a tabela, para uma pessoa com uma riqueza de um milhão de reais, um aumento adicional de um milhão resulta em um acréscimo de 20 unidades de utilidade. Em contraste, para alguém com dois milhões, o mesmo aumento de um milhão acrescenta somente 18 unidades de utilidade, um valor um pouco menor.

Este padrão se mantém consistente. Por exemplo, ao chegarmos a um patamar de riqueza de nove milhões de reais, um aumento adicional de um milhão gera apenas 4 unidades de utilidade a mais. Assim, à medida que a riqueza acumulada aumenta, o valor psicológico de cada unidade monetária adicional diminui proporcionalmente.

Agora, para entender melhor como a matemática aprendida na escola se aplica aos nossos exemplos anteriores, vamos revisar a definição de logaritmo:

Em termos simples, o logaritmo de um número b em relação a uma base a mostra quantas vezes precisamos multiplicar a base para alcançar esse número. Tomemos, por exemplo, o logaritmo de 8 na base 2 (log₂ 8): o valor é 3 porque, ao multiplicarmos 2 três vezes (2 × 2 × 2), obtemos 8. Essa explicação básica é suficiente para avançarmos, mesmo que o conceito possa se tornar mais complexo em outras situações.

Vamos agora aplicar o que aprendemos sobre logaritmos. Para começar, introduziremos dois números: b₁ e b₂. Faremos com que b₂ seja exatamente o dobro de b₁, portanto, b₂ = 2*b₁.

O próximo passo é calcular os logaritmos de b₁ e b₂. Escolheremos 3 como nossa base para esses cálculos. A figura abaixo ilustra esses cálculos detalhadamente. Nela, a base 3 e o fator 2, que representa quanto b₂ é maior que b₁, serão destacados em cores diferentes. Essas representações visuais nos ajudarão a entender melhor os resultados. Os logaritmos de b₁ e b₂ serão denominados n₁ e n₂, respectivamente.

Para adicionar um toque de diversão ao nosso estudo sobre logaritmos, vamos explorar a diferença entre n₁ e n₂. Utilizaremos a regra do quociente, que diz que, ao subtrair dois logaritmos com a mesma base, podemos reescrever isso como o logaritmo do quociente dos seus respectivos números. Então, a diferença entre n₁ (o logaritmo de b₁ na base 3) e n₂ (o logaritmo de b₂ na base 3) pode ser expressa como um único logaritmo.

Assim, ao multiplicarmos um número por 2, notamos que seu logaritmo na base 3 aumenta em 0,631. Esse exemplo prático ilustra como a multiplicação pode ser "transformada" em adição no universo dos logaritmos.

Na fórmula que determina n₂, os valores específicos de b₁ e b₂ não são relevantes, mas sim a proporção entre eles (no caso 2, em cinza) e a base do logaritmo (3, em azul).

Continuando com essa ideia, ao criarmos um número b₃, que é b₂ multiplicado novamente por 2, o resultado será o logaritmo de b₂ acrescido mais uma vez de 0,631.

Para uma representação visual dessas relações, podemos plotar b₁, b₂ e b₃ no eixo horizontal de um gráfico cartesiano, com seus respectivos logaritmos de base 3 no eixo vertical. O gráfico resultante, mostrado abaixo, ilustra essa  relação.

O mais fascinante aqui é que, para o mesmo aumento no eixo vertical do gráfico, é necessário um aumento maior no eixo horizontal quando nos movemos para a direita do gráfico.

Mesmo usando números arbitrários, como multiplicar um número por 2 e utilizar um logaritmo de base 3, o padrão que emerge é qualitativamente semelhante aos exemplos anteriores. 

Se interpretarmos o eixo horizontal como uma representação da riqueza corrente e o eixo vertical como o valor psicológico do dinheiro, o gráfico mostra que é necessário um aumento considerável na riqueza para alcançar o mesmo acréscimo em valor psicológico.

É importante notar também que a escolha da base 3 para o logaritmo tem como objetivo ilustrar o comportamento geral de funções logarítmicas. Na prática, os parâmetros exatos de uma lei matemática aplicável a uma situação real seriam estabelecidos através de experimentos e análise estatística.

E quanto à "lei do estômago"? Podemos aplicar um raciocínio semelhante ao que fizemos anteriormente. 

Suponha que o número de pedaços de pizza que alguém come seja representado pelo número p₁. Ao comer mais um pedaço, temos p₂, que é igual a p₁ + 1. Para manter a consistência com nossos cálculos anteriores, vamos utilizar a base 3 para o logaritmo também nesta situação. Calculando os logaritmos de p₁ e p₂ nesta base, os chamaremos de s₁ e s₂, respectivamente. 

A diferença entre s₁ e s₂, que representa a mudança na satisfação ao comer cada pedaço adicional de pizza, é ilustrada na figura abaixo.

Dada a natureza dos logaritmos, percebemos que, à medida que aumentamos o número de pedaços de pizza, representado por p, a satisfação indicada por s continua crescendo, mas a um ritmo cada vez mais lento.

Em ambos os exemplos, utilizamos números arbitrários para ilustrar como grande parte da nossa percepção do mundo ocorre de forma logarítmica. 

De fato, nossa interpretação intuitiva de muitas experiências segue essa mesma lógica. Aliás, essa percepção logarítmica é frequentemente explorada em estratégias de marketing. No entanto, esse é o tópico de uma próxima publicação.